Preparando la Olimpiada Matemática
Problemas_
La idea central de esta página es proporcionar a los alumnos una selección de problemas que presentaremos quincenalmente para su preparación olímpica.
Problemas 1ª quincena de Noviembre 2019
Problema 1 _
Determinar todas las parejas de enteros positivos (a, b) tales que
es un entero positivo.
Problema 4 _
Determina los dos valores de x más próximos (por defecto y por exceso) a 2003º que cumplen la siguiente ecuación trigonométrica:
Problema 2 _
Supongamos que tenemos un tablero con dieciséis casillas dispuestas en cuatro filas y cuatro columnas.
(a) Prueba que se pueden colocar siete fichas, nunca dos en la misma casilla, de forma que al eliminar dos filas y dos columnas cualesquiera, siempre quede alguna ficha sin eliminar.
(b) Prueba que si se colocan seis fichas, nunca dos en la misma casilla, siempre se puede eliminar dos filas y dos columnas de forma que todas las fichas sean eliminadas.
Problema 3 _
Calcula las soluciones reales de la ecuación:
Problema 5 _
Se considera la inecuación
donde a es un parámetro real.
a) Discutir la inecuación según los valores de a.
b) Caracterizar los valores de a para los cuales la inecuación tiene exactamente 2 soluciones enteras.
Problema 6 _
¿Qué condición han de cumplir las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera para que la línea que une el baricentro (centro de gravedad del triángulo o punto donde coinciden las medianas) y el incentro (punto común a las tres bisectrices) sea paralela a uno de los lados?